Exemplos Ilustrativos Variáveis Anticomutantes: Uma Formulação Introdução

Orbital de Spin no Espaço de Hilbert-Grassmann

Nesta seção introduz-se uma formulação algébrica para a mecânica quântica em termos de uma álgebra geométrica. Com o intuito ilustrativo mostra-se a equivalência ou a correspondência desse formalismo com outros usuais tais como a função de onda de N-elétrons e o formalismo de segunda quantização .

Esta correspondência (ou equivalência) entre as formulações e seus entes abstratos pode ser simbolizada, para o caso bi-eletrônico, por,

 

É necessário enfatizar que a expressão acima não é uma equação, mas meramente uma correspondência entre os três formalismos. Esta correspondência permite fazer uma conexão entre o produto exterior de Grassmann e o princípio de exclusão de Pauli como é mostrado a seguir.

Assume-se aqui o espaço vetorial E, mencionado na seção 1, equivalente ao espaço de Hilbert H. Assim, uma aplicação N-linear alternada no espaço H, será:

 

sendo um espaço vetorial e denominado por espaço de Hilbert-Grassmann.

Para introduzir o conceito de vetores de estado neste formalismo, toma-se um conjunto de orbitais de spin mono-eletrônico representados por onde alguns deles estão ocupados e os outros vacantes.

i) Estado de vácuo :

O estado de vácuo é um estado abstrato e vazio, isto é não contém elétrons. Ele é meramente uma entidade matemática abstrata e importante no desenvolvimento desta formulação. No caso geral, quando todos os orbitais estão vacantes, o estado de vácuo é representado aqui por

 

é o elemento nulo pertencente a H ou a um orbital de spin com zero elétron. O estado de vácuo obedece as seguintes propriedades,

a)- é normalizado à unidade, i.e.

b)- é ortogonal à qualquer outro estado.

ii) Estado mono-eletrônico :

É o estado no qual apenas um orbital de spin está ocupado e todos os outros estão vacantes

 

iii) Estado bi-eletrônico:

É o estado no qual dois orbitais de spin , têm um elétron cada e os outros estão vacantes

 

Estes casos são suficientes para se ter uma visão geral do espectro da definição de orbital de spin e estados eletrônicos no espaço de Hilbert Grassmann. Isto permite extender facilmente o conceito de vetor de estado para um sistema de N-elétrons pela relação

 

Das propriedades de uma aplicação multilinear alternada (veja seção 1), pode-se mostrar facilmente que o vetor de estado acima definido satisfaz o princípio de Pauli, isto é:

 

e

 

sempre que para qualquer e é um produto tensorial.

Como foi mostrado, as aplicações multilineares alternadas podem ser interpretadas como generalizações de determinantes (veja seção 1). Assim, usando uma base conveniente , obtem-se facilmente que a aplicação N-linear alternada sobre o espaço de Hilbert H, pode ser expressa por uma soma de determinantes na nova base , isto é,

 

onde as são sub-matrizes da matriz definidas pelas componentes dos vetores no espaço de Hilbert e , e .

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