Variáveis Anticomutantes: Uma Formulação Álgebra de Grassmann Produto Interno de r-Vetores

Álgebra de Grassmann Generalizada - G

Normalmente a álgebra de Grassmann é ultilizada para tratar sistemas com variáveis anticomutantes. Caberia aqui a seguinte pergunta: ''Seria possível desenvolver uma ágebra de Grassmann para variáveis comutantes ? ''. A resposta a esta pergunta é positiva, bastando para isso introduzir o conceito de signatura de uma álgebra, como será feito a seguir.

Considere para isto os elementos geradores satisfazendo as seguintes relações de comutação:

 

ou

 

onde para todo k e ou para , é denominada de ''signatura''. Em particular, quando para todo j,k os são chamados de geradores ou números de Grassmann. Assim, uma álgebra formada por esta espécie de número é chamada de álgebra de Grassmann generalizada - , a qual torna-se então de suma importância para a Física, pois pode-se tratar sistemas fermiônicos e bosônicos dentro de uma única estrutura algébrica. Isto quer dizer que quando todos os , então os geradores correspondem aos operadores bosônicos e obedecem a relação ; quando todos os , os correspondem aos operadores fermiônicos os quais obedecerão à regra de comutação anômala .

Evidentemente, uma das mais importantes propriedades dos números consiste na relação entre os geradores especificados pelas diferentes signaturas . Teorias desenvolvidas em diferentes signaturas são ditas teorias sobre uma álgebra Para-Grassmann, como por exemplo a Para-quantização e a Para-estatística.

Neste trabaho em particular, será desenvolvido nos próximos capítulos, uma formulação alternativa para estudos de sistemas eletrônicos (fermiônicos) com base numa álgebra de Grassmann generalizada com signatura