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A definição de um produto interno generalizado em cada
espaço 
é possível desde que o espaço vetorial E seja
munido de um produto interno simples entre dois vetores. Este produto é
indicado aqui pelos símbolos 
ou 
indiferentemente. É necessário que a forma bilinear
seja simétrica e tenha sempre norma positiva, para quaisquer 
e 
. Denota-se o produto interno generalizado da seguinte forma
\
Pode-se mostrar facilmente que h é alternado nos
e nos 
separadamente, pois o determinante de uma matriz é uma função
multilinear alternada das linhas e colunas dessa matriz. Isto, induz uma
forma bilinear < 
carecterizada por
para quaisquer 
, 
. Esta forma é simétrica e tem norma positiva. O determinante
acima é denominado Grammiano dos vetores 
que para o caso particular, r=2, pode ser representado pela desigualdade
de Schwartz
Para uma melhor compreensão do significado geométrico
desta estrutura algébrica serão discutidas a seguir duas
aplicações simples deste formalismo;
a) O produto exterior como uma área orientada.
Seja o produto escalar de um produto de 2-vetores
no caso em que a e b são ortogonais temos que 
, assim a expressão acima é exatamente o quadrado da área
de uma de uma superfície definida pelos vetores a e b.
Isto é
b) O produto exterior como um volume orientado.
É importante ressaltar que o comprimento 
, de um r-vetor decomponível, pode ser intrerpretado como o volume
de um paralepípedo em 
. Como exemplo toma-se r=3 ( com os
ortogonais) e 
, assim,
\
Como 
, para 
, devido à ortogonalidade de
e ainda 
, tem-se que\
\
Assim, o comprimento de C será
que é igual ao volume de um paralepípedo com lados 
, 
e 
.
Geometricamente o produto de Grassmann 
pode ser interpretado como área orientada, onde 
teria uma orientação oposta. Genericamente pode-se dizer
que o produto 
definirá um hiper volume orientado. Numa terminologia simplificada
diz-se que 0-vetor, 1-vetor, 2-vetores,... são denominados escalar,
vetor, bivetor,... respectivamente.
