Produto Interno de r-Vetores Álgebra de Grassmann Propriedades Básicas da

Álgebra de Grassmann Extendida

Nesta seção generaliza-se o conceito de produto de Grassmann e mostra-se uma possível conexão entre um produto definido na álgebra de Clifford e os geradores da álgebra de Grassman.

O caso mais geral de um produto exterior de espaços vetoriais seria considerar a soma direta desses espaços, isto é,

 

Na equação (0.21) assumiu-se que dim E=n e dim . Isto implica que cada elemento pode ser escrito, de modo único, como uma soma dos elementos de todos os r-vetores . Este elemento tem a seguinte forma;

 

Sendo , com r=0,1...n. Assumi-se aqui que são escalares e são vetores em E.

Neste caso pode-se definir o seguinte produto exterior, em , devido a aplicação bilinear :

 

onde , e , .

Esta mutiplicação, juntamente com as relações (0.20), tornam uma álgebra associativa com elemento unidade (escalar). Ela é graduada e anti-comutativa pois é definida como uma soma direta de componentes homogêneos Esta álgebra é denominada, comumente, álgebra de Grassmann sobre o espaço vetorial E [4].

Neste caso o produto é meramente o produto usual entre um escalar e um vetor, desde que e A partir desta definição nota-se que os produtos de Clifford [6], definidos por

 

são os geradores da sub-álgebra de Grassmann C;

 

sendo a e b e o produto um escalar.

A álgebra proposta por Clifford em 1878 apareceu como uma união entre o produto exterior de Grassmann e os quatérnions de Hamilton. Veja uma discussão interessante, sobre este tema, na referência ''Space-Time Álgebra '' [6].