Álgebra de Grassmann Extendida Álgebra de Grassmann Álgebra de Grassmann

Propriedades Básicas da Álgebra

Nesta seção, apresenta-se algumas propriedades de um espaço multilinear alternado [3, 4, 5] para tornar clara a formulação desenvolvida nos próximos capítulos.

Sejam espaços vetoriais e f uma aplicação de em U;

 

Se a aplicação f for linearmente separável em cada uma das variáveis , isto é, \

 

ou em particular,

 

onde e e a então f é dita ser r-linear. é o conjunto de todos os números reais.

Dentro do conjunto de todas as aplicações acima, toma-se o subconjunto das f que satisfazem a relação\

 

sempre que a sequência tiver pelo menos uma repetição, ou seja

 

onde . Este subconjunto é comumente denotado . A fim de que seja alternada, é necessário e suficiente que f seja antissimétrica na troca de dois elementos geradores da álgebra, isto é,

 

A prova deste resultado é obtida de uma forma simples escrevendo a função f como a seguir

 

Como f é alternada, ela deve ser nula no caso de existirem dois elementos iguais no seu argumento, então temos que

 

Usando a propriedade de r-linearidade da aplicação f (veja a equação 0.2), ela pode ser escrita como uma soma de aplicações como a seguir,

 

de onde tira-se que f é antissimétrica, isto é pois por definição de uma aplicação r-linear alternada.

Para tornar claro o significado de uma aplicação multilinear alternada, será dado abaixo uma possível realização da álgebra.\

A aplicação bilinear definida por (produto vetorial) é bilinear alternada, como será mostrado a seguir.

Se e é uma base canônica em , tem-se que , para k,m e n=1,2,3 e e n (tomados numa ordem cíclica). Para e arbitrários, tem-se

 

onde pode-se notar que é nula para qualquer ; isto significa que f é alternada ou .

Nota-se facilmente que uma aplicação multilinear alternada satisfaz condições análogas às propriedades verificadas por determinantes, como será mostrado na proposição abaixo.

Proposição:

Seja uma aplicação r-linear alternada. Dada uma base ordenada , para cada subconjunto , seja

 

e se são geradores de E, então tem-se que

 

onde é uma submatriz da matriz dos coeficientes dos geradores . O número máximo de elementos diferentes é obtido combinando r geradores de um espaço m-dimensional pela relação

 

Assim, dada uma aplição r-linear alternada com Dim(E)=m tem-se, pelos resultados acima, que para cada elemento a imagem de é uma combinação de elementos cujo número não excede a . Então o subespaço de U gerado por tem dimensão menor ou igual a e será máxima quando os vetores são linearmente independentes (LI).

No caso em que são linearmente dependentes (LD), tem-se que é r-linear alternada, pois no mínimo um deles poderá ser escrito como uma combinação linear dos outros restantes, isto é . Assim

 

Se é uma aplição r-linear, as seguintes condições são válidas:

i) Existe uma base ordenada em E tal que os elementos com formam uma base de U.

ii) A condição anterior será válida para todas as bases do espaço vetorial E.

iii) A aplição gera U e DimU

f será um produto exterior em E, se pelo menos uma das condições acima é satisfeita. Denota-se este produto exterior por,

 

O espaço U é geralmente escrito como uma potência exterior r-ésima de espaços vetoriais E e será representado aqui por,

 

Considerando que não foi necessário fazer qualquer restrição sobre o espaço vetorial E, pode-se definir um produto exterior em qualquer espaço vetorial. O fato de que sugere a existência de um produto exterior de ordem m-1, g . Ele existe, de fato, como uma generalização do produto vetorial usual . Quando temos , de modo que o produto exterior em deve ser procurado fora do espaço . De onde surge a denotação de produto exterior.\

Neste sentido, pode-se definir o produto entre um r-vetor e um s-vetor sobre E. O resultado será um (r+s)-vetor sobre E, definindo a seguinte aplicação bilinear:

 

Pode-se mostrar facilmente que se considerar a aplicação (r+s)-linear , existe somente uma aplicação bilinear, como na equação acima, tal que

 

para quaisquer e satisfazendo as condições

e

 

e os e são elementos do espaço vetorial E.

Deve ser ressaltado que este produto só será alternado quando os números r,s forem ímpares. Os resultados acima permitem mostrar as seguintes relações:

i) para quaisquer

ii) Se e então

iii) , para quaisquer

iv) para todos .

 

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