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de Criação e Previous: Elemento
de Aniquilação
Tendo definido um elemento aniquilador introduz-se o elemento criador , o qual cria uma partícula no orbital de spin que contém inicialmente uma vacância.O elemento de criação será o adjunto do elemento de aniquilação da equação (0.58), i.e.,\
com as propriedades
Contudo, devido ao princípio de Pauli, assim como às propriedades de um produto exterior, a criação de uma partícula com as mesmas características de uma outra já existente seria impossível, tornando assim o produto nulo, i.e.,
Pode-se definir também um produto misto de por . Por exemplo,
as operações acima levam à seguinte regra de anticomutação:
No caso em que , seria equivalente a criar uma partícula o estado e em seguida destruí-la,
e
de onde tira-se esta outra relação de anticomutação
que é equivalente a equação (0.70) para
O adjunto da equação (0.64) é definido por\
No caso fermiônico, o operador número N pelo produto de por pode ser introduzido por
o qual satisfaz a seguinte relação de idempotência:
ou
A equação acima estabelece que é um projetor (idepotente) . Pode-se mostrar facilmente que satisfaz à seguinte regra de comutação
e tem os autovalores 0 ou 1, obedecendo assim ao princípio de exclusão de Pauli.
Em resumo, nota-se que a representação de funções de onda antissimétricas, construídas a partir de determinantes de Slater, corresponde a uma realização específica da álgebra de Grassmann. Neste sentido a formulação baseada na álgebra de Grassmann corresponde a uma estrutura matemática mais geral.
Fazendo uso desta estrutura algébrica será mostrado que propriedades gerais da química quântica podem ser descritas de forma sintética e elegante.
Nas seções subsequentes serão apresentadas algumas aplicações desta formulação em mecânica quântica.