Álgebra de Grassmann ÁLGEBRA DE GRASSMANN E ÁLGEBRA DE GRASSMANN E

Introdução

A competição entre proponentes de uma ou outra teoria científica tem sido apresentada como uma batalha de egos, cujos participantes falam a seu modo como a natureza deve se comportar. Cabe a cada indivíduo usar as diferentes abordagens nas aplicações onde ele acredite que tenham maior sucesso. Essa diversidade de teorias possibilita observar propriedades químicas ou físicas através de prismas diferentes, permitindo a generalização de conceitos conhecidos ou mesmo a introdução de outros novos.

Um exemplo disso pode ser visto na geometrização e/ou algebrização de teorias em Física e Química, o que tem levado diferentes grupos de pesquisadores trabalhar em tal tema nestes últimos anos. A busca dessas abordagens é motivada pela fácil visualização geométrica das propriedades do sistema físico em estudo, bem como, elaborar formulações matemáticas mais gerais.

Este processo não tem afetado apenas a matemática, mas também diferentes campos da física e química onde a geometria envolvida não é apenas a do espaço físico real, mas também a dos espaços das variáveis abstratas utilizadas no eletromagnetísmo, na termodinâmica, na mecânica clássica, na dinâmica dos fluidos, na teoria das partículas elementares e na química quântica.

Com base nestas premissas será proposto neste trabalho uma formulação matemática alternativa para mecânica quântica bem como aplicá-la em conceitos básicos da química quântica cuja motivação passamos a discutir a seguir.

Sabe-se da mecânica quântica que a equação de Schrödinger não pode ser resolvida exatamente para sistemas com mais de uma partícula, o que torna necessário introduzir aproximacões.Uma das usuais, consiste na construção da função de onda total a partir de orbitais moleculares (OM). Cada orbital molecular é então uma função a uma única partícula dependendo unicamente das coordenadas espaciais e de spin de cada elétron. Esta função é denominada orbital de spin e a forma mais simples de construí-la é a partir do produto entre os OM. Contudo, este produto (denominado produto de Hartree) não satisfaz o requerimento de antissimetria com respeito à troca de dois elétrons (princípio de Pauli).

A solução proposta para resolver tal problema foi descrever a antissimetria por meio de um determinante, denominado determinante de Slater. Neste caso e como consequência imediata temos que , ou seja o princípio da exclusão de Pauli é obedecido, pois o determinante se anula quando duas de suas colunas (ou linhas) são idênticas.

Em 1844, Grassmann desenvolveu uma álgebra de variáveis anticomutantes cuja estrutura tornou-se hoje uma ferramenta matemática importante no estudo de sistemas com propriedades antissimétricas. As aplicações f, nesta álgebra, são do tipo r-lineares alternadas construidas num espaço multilinear alternado. Isto quer dizer que qualquer é antissimétrica em relação à permutação de dois elementos geradores desta álgebra. Assim e toda f será nula sempre que houver dois geradores iguais na sequência , isto é, .

Como pode ser notado nos dois últimos parágrafos, a estrutura da álgebra de Grassmann tem propriedades análogas às obedecidas pela função de onda , o que sugere colocar a seguinte questão:

Existe alguma conexão entre as duas estruturas matemáticas ? Ou seja, qual será a relação entre a função de onda a muitas partículas e a função de Grassmann ?

A resposta a esta questão é o principal objeto de estudo neste trabalho: apresentar uma formulação alternativa geral para a química quântica em termos da álgebra de Grassmann.

Mostra-se que esta formulação permite tratar de forma elegante e sintética a aproximação de interação de configurações (CI), assim como, generalizar conceitos em química quântica atribuindo-lhes propriedades geométricas. Por exemplo, a matriz densidade de ordem N em sistemas de muitos corpos, pode ser entendida como um hipervolume no espaço , ao ser definida por um produto interno de 3N variáveis de Grassmann.

Em resumo, introduz-se no presente trabalho um formalismo algébrico alternativo, capaz de interpretar conceitos da teoria dos orbitais moleculares, em função de algumas propriedades da álgebra das variáveis anti-comutantes.

Na seção 1, será apresentado um resumo sobre álgebra de Grassmann limitando-se à discussão das principais propriedades e definições pertinentes ao desenvolvimento do trabalho. No decorrer da seção serão dados exemplos de realizações da álgebra para facilitar a compreensão dos conceitos mais abstratos. Será apresentada também uma breve revisão histórica sobre a evolução da teoria.

Na seção 2, será introduzido uma formulação algébrica alternativa que faz a conexão entre a teoria dos orbitais moleculares e a álgebra de Grassmann. Neste caso a antissimetria, via determinantes de Slater, torna-se um caso particular da formulação proposta. Será feito uma breve discussão sobre a interpretação dos conceitos básicos na teoria de orbitais moleculares.

Na seção 3, em particular, serão abordadas outras aplicações importantes em química quântica e serão generalizados os conceito de valência atômica, índices ligação e energia para grupos de átomos.

Álgebra de Grassmann ÁLGEBRA DE GRASSMANN E ÁLGEBRA DE GRASSMANN E